El Concepto del Interés Compuesto
El interés compuesto representa la acumulación de intereses sobre el capital inicial y también sobre los intereses acumulados previamente. A diferencia del interés simple, reinvierte los rendimientos de cada período, acelerando el crecimiento del saldo disponible.
Fórmula del Interés Compuesto Periódico
La ecuación matemática clásica para calcular el interés compuesto a intervalos periódicos definidos (anual, mensual, diario) es:
A = P (1 + r/n)nt
Donde:
- A: El monto final acumulado (capital + intereses).
- P: El capital inicial invertido (principal).
- r: La tasa de interés nominal anual (en decimales).
- n: El número de períodos de capitalización por año.
- t: El tiempo total de la inversión en años.
A medida que la frecuencia de capitalización ($n$) es mayor (por ejemplo, capitalización mensual o diaria), los intereses se suman antes al saldo principal, generando mayores rendimientos totales para una misma tasa de interés nominal.
Capitalización Continua y el Número de Euler (e)
¿Qué sucede si los intereses se calculan e incorporan al capital de forma infinita e instantánea ($n \to \infty$)? Este es el concepto de **Interés Compuesto Continuo**.
Analizamos el límite de la fórmula cuando $n$ tiende a infinito:
limn → ∞ P (1 + r/n)nt
Definiendo la variable auxiliar $m = n/r$, y sabiendo que cuando $n \to \infty$, $m \to \infty$, reescribimos la expresión como:
P [ limm → ∞ (1 + 1/m)m ] rt
Por definición matemática de límites, el término dentro de los corchetes equivale al **Número de Euler** ($e \approx 2.71828$):
e = limm → ∞ (1 + 1/m)m
Sustituyendo $e$, obtenemos la famosa fórmula de capitalización continua:
A = P ert
Comparativa de Frecuencias de Capitalización
Para un capital inicial de $P = 10,000\,€$ con una tasa del $r = 10\%$ anual durante $t = 1$ año:
- Anual (n=1): $10,000 \times (1 + 0.10/1)^1 = 11,000.00\,€$
- Trimestral (n=4): $10,000 \times (1 + 0.10/4)^4 = 11,038.13\,€$
- Mensual (n=12): $10,000 \times (1 + 0.10/12)^{12} = 11,047.13\,€$
- Diario (n=365): $10,000 \times (1 + 0.10/365)^{365} = 11,051.56\,€$
- Continuo: $10,000 \times e^{0.10 \times 1} = 11,051.71\,€$
La diferencia entre la capitalización diaria y la continua es mínima (apenas $0.15\,€$), lo que demuestra que el crecimiento marginal decrece rápidamente al aumentar la frecuencia.